空間曲面

バルトの六次曲面をレンダリングしました

バルトの六次曲面

【式】

 バルトの六次曲面

 4(Φ^2 x^2-y^2)(Φ^2 y^2-z^2)(Φ^2 z^2-x^2)-(1+2Φ)(x^2+y^2+z^2-1)^2=0

 Φ=(1+sqrt(5))/2

 参考までに isosurface による陰関数曲面の描画方法を載せておきます
    //**********************************************************************************      
    #local J=(1+sqrt(5))/2;           
    #declare fnc = function(x,y,z)
        { 4*(J*J*x*x-y*y)*(J*J*y*y-z*z)*(J*J*z*z-x*x)-(1+2*J)*pow(x*x+y*y+z*z-1,2) }
    #local Vc=<0,3997.830,0>;
    #local Sc=26; #local Rt=-30*x; #local Tr=2*z;
    #local ISC = pigment { color rgb < 0.652, 0.211, 0.711 > }
    //
    isosurface {
     function { fnc(x, y, z) }
     contained_by { sphere { 0, 3.2 } }
     #if(abs(Vc.x)>0) threshold Vc.x #end
     #if(abs(Vc.y)>1.1) max_gradient Vc.y #end
     #if(Vc.z=0) open #end
    pigment { ISC } scale Sc rotate Rt translate Tr }
    //**********************************************************************************

縮閉線

サイクロイドの縮閉線は外サイクロイドになります

サイクロイドの縮閉線

【式】

 外サイクロイド   β(t)=( Px , 0 , Pz )

            Px = (A+B) cos t + B cos t(A+B)/B
            Pz = (A+B) sin t + B sin t(A+B)/B

              A=5 , B=3

 縮閉線       α(t)=β(t)+e2(t)/κ(t)   ( -3π≦t<3π )
 単位主法線ベクトル e2(t)=(β'(t)×β''(t))×β'(t)/‖(β'(t)×β''(t))×β'(t)‖
 曲率        κ(t)=‖β'(t)×β''(t)‖/pow(‖β'(t)‖,3)

 速度ベクトル    β'(t)=(β(t+H/2)-β(t-H/2))/H  (接線ベクトル)
 加速度ベクトル   β"(t)=(β(t+H)-2β(t)+β(t-H))/H^2  (H=⊿t)

結び目

内トロコイド結び目により 自明な結び目と同値の結び目を レンダリングしました

自明な結び目(同値)

【式】

 内トロコイド結び目  P(t) = ( x(t) , y(t) , z(t) )  (-π≦t<π)

            x(t) = ( A - B ) cos t + C cos t(A-B)/B
            y(t) = D sin Wt
            z(t) = ( A - B ) sin t - C sin t(A-B)/B

            A=16 , B=4 , C=8 , D=1 , W=8

カオス

グモウスキーとミラの写像の式を一部改変してレンダリングしました

グモウスキーとミラの写像(改)

【式】

 グモウスキーとミラの写像(改)  W=(x(n),y(n))  (0≦n≦4500)

                  x(n+1)=Ky(n)+G(n)
                  y(n+1)=−x(n)+G(n+1)
                  G(n)=Mx(n)+Lx(n)^2/(1+x(n)^2)

        M=0.7 , L=6.4 , K=1.0 , x(0)=2 , y(0)=12

       プロット範囲 100<n≦4500