曲線α上の動点Ｑにおける、接線の長さが弧長と等しくなる、動点Ｐが描く曲線です。

曲線上の動点の座標位置を変換して、新たな曲線を生成します。

【式】 Ｐ=( R cos t, 0, R sin t ) , R=4 ( -π≦t＜π ) 原点が中心で半径を４とするxz平面上の円です。 円の式は弧長パラメータ表示ではありませんが、隣り合う二点間の弧長は等しくなります。

【式】 Ｐ=( t, 0, Mt ) ( -6≦t＜6 ) M=tan π/6 xz平面上の傾きがMの直線z=Mxです。 直線の式は弧長パラメータ表示ではありませんが、隣り合う二点間の距離は等しくなります。

速さが一定の曲線上に、物体を等間隔配置した画像を載せます。

【式】 Ｐ=( A cos t, A sin t, Bt) ( -4π≦t＜4π ) A=1 , B=1/4 円柱面上の螺旋で、速さが一定の曲線ですが、ここでは、定速近似の曲線として、球の中心間の弧長を1/2として描画しています。

【式】 Ｐ=( R cos t, 0, R sin t ) , R=At , A=3 ( 0≦t＜2.26π ) xz平面上のR=3t の螺線で、球の中心間の弧長は3です。

【式】 Ｐ=( t, 0, sin t ) ( -π≦t＜π ) 媒介変数表示の曲線を、球を配置する位置の弧長が等しくなるように描画しています。 球の中心間の弧長は1/2です。 xz平面上のz=sin xを媒介変数 t を用いて描画した曲線です。

二点間の弧長を指定して描画した曲線を載せます。

【式】 Ｐ=( A cos sk , A sin sk , B sk ) ( -9π≦s＜6.15π) 曲率 κ=1/5 , 捩率 τ=1/20 A=κ/(pow(κ,2)+pow(τ,2)) , B=τ/(pow(κ,2)+pow(τ,2)) k =sqrt(pow(κ,2)+pow(τ,2)) 曲率と捩率による円柱面上の螺旋です。

【式】 Ｐ=( A asinh(s/A), 0, sqrt(pow(A,2)+pow(s,2)) ) , A=1 ( -3≦s＜4 ) 紐の両端を一定の間隔で固定したときに、自重で垂れ下がって生成される曲線です。 ＰＯＶ−Ｒａｙでは、sinhの逆関数を、asinhと記述します。

【式】 Ｐ=( R cos s/R, 0, R sin s/R ) , R=4 ( -4π≦s＜4π) 原点を中心とする半径が４のxz平面上の円です。

【式】 Ｐ=((Vl-s)P1+sP2)/Vl ( 0≦s＜13.4 ) P1=( -6, -1, -3 ) , P2=( 6, 1, 3 ) , Vl=‖P1- P2‖ ( -6, -1, -3 )と( 6, 1, 3 )の二点を通る直線です。

弧長パラメータ表示の式から描画した曲線を載せます。

速さが一定となるように描画した曲線を載せていきます。

媒介変数表示の接線ベクトルは、一般的に大きさが定数にならないのですが、一部の曲線で定数になる曲線があります。 この速さが一定の曲線を、定速曲線と呼ぶことにします。 定速曲線は、物体を曲線上に、等間隔で配置することができます。

直交座標を球面座標に変換します。 //********************************************************************************** 入力 Pv：直交座標 出力 ：球面座標 //********************************************************************************** #m…

円柱でつなぐ二点間の弧長が一定となる曲線です。 //********************************************************************************** 入力 Lr：線の半径 V1：媒介変数の範囲 ＜始点，終点，刻み幅，弧長＞ Fn：式の登録番号 //**********************…

媒介変数表示の曲線を球を用いた点線で描画します。 //********************************************************************************** 入力 Lr：線の半径 V1：媒介変数の範囲 ＜始点，終点，刻み幅＞ Fn：式の登録番号 //**************************…

曲線を描くための媒介変数表示の式を登録します。 式は登録した番号で呼び出します。 //********************************************************************************** 入力 Tp：媒介変数の値 Fn：式の登録番号 出力 F ：媒介変数に対する曲線の座標…

レンダリング環境を設定します。 数学の式を扱うので、右手座標系を用います。 //********************************************************************************** global_settings { assumed_gamma 1.0 max_trace_level 5 } camera { location -200*y…

弧長パラメータ近似の曲線は、線分でつなぐ二点間の弧長が、指定した弧長で一定になるので、ここでは、定速近似の曲線と呼ぶことにします。 参考までに、ＰＯＶ−Ｒａｙで、この定速近似の曲線を、媒介変数表示の式から描画する方法について載せておきます。

媒介変数表示の曲線を弧長パラメータで再パラメータ化して、曲線を弧長パラメータで表した場合、一般的には単純な式になりません。 そこで、媒介変数表示の曲線を弧長パラメータ表示の曲線のように描く方法を説明します。 媒介変数表示の接線ベクトルは、一…

曲率はκ(s)=‖T'(s)‖=sqrt( pow(x''(s),2)+pow(y''(s),2)+pow(z''(s),2) です。 捩率はτ(s)=( T(s)×T'(s) ) ・T''(s)/pow(‖T'(s)‖,2) となります。 空間曲線は曲率と捩率で表すことができます。捩率が０の場合には平面曲線になります。

接線ベクトルは、 T(s)=( x'(s), y'(s), z'(s) )で、 大きさは‖T(s)‖=sqrt( pow(x'(s),2)+pow(y'(s),2)+pow(z'(s),2) )=1です。 接線ベクトルは大きさが１なので単位接線ベクトルになります。 単位主法線ベクトルは、 N(s)=T'(s)/‖T'(s)‖=( x''(s), y''(s), …

直交座標(x,y,z)において、弧長パラメータｓを用いて、P=f(x(s),y(s),z(s))で表される曲線です。 弧長パラメータｓで表された曲線は、接線ベクトルの大きさが１になり、弧長パラメータがｓの位置での弧長がｓになります。 弧長パラメータで表された曲線は、…

◆ ( 1 , 1/5 )型 ◆ 【式】 Ｐ=( ( R+r cos Mt ) cos Nt , r sin Mt , ( R+r cos Mt ) sin Nt ) ( -6π≦t＜6π ) R=1 , r=1/2 , M=1 , N=1/5 有理数からなる(M,N)型の円環面上の曲線で、空間単純閉曲線です。 ◆ (sqrt(5)/2-1/125 , 4/25 )型 ◆ 【式】 Ｐ=( ( R+…

【式】 Ｐ=R( 1+cos t, sin t, 2 sin t/2 ) , R=2 ( -2π≦t＜2π ) 円柱 pow(x-R,2)+pow(y,2)=pow(R,2)を、 球面 pow(x,2)+pow(y,2)+pow(z,2)=pow(2R,2)で切り取った切り口の淵を表わす曲線で、円柱面上にも球面上にもある曲線です。

【式】 Ｐ=( cos At sin Bt , sin At sin Bt , cos Bt ) ( -26π≦t＜25π ) A=1/5 , B=sqrt(5)/2-1/125 球面上の曲線で、日本古来の手まりを思わせる形状をしています。 ＰＯＶ−Ｒａｙでは、Nの平方根を、sqrt(N)により、求めることができます。

【式】 Ｐ=( cos At cos Bt , sin At cos Bt , sin Bt ) ( -18π≦t＜18π ) A=1 , B=1/18 球面上の螺旋です。