式が、f(Z)=pow(Z,5)+μ で表される ジュリア集合のフラクタルです。 例） k=5 , μ=0.52( cos 2π/9 + i sin 2π/9 ) の場合

式が、f(Z)=pow(Z,4)+μ で表される ジュリア集合のフラクタルです。 例） k=4 , μ=0.6( cos 7π/18 + i sin 7π/18 ) の場合

式が、f(Z)=pow(Z,3)+μ で表される ジュリア集合のフラクタルです。 例） k=3 , μ=0.52( cos 2π/9 + i sin 2π/9 ) の場合

式が、f(Z)=pow(Z,2)+μ で表される ジュリア集合のフラクタルです。 例） k=2 , μ=-0.75 の場合

複素数の定数 μ に対して、複素関数 f(Z) の値を発散させないような、初期値 Zo の全体集合を、充填ジュリア集合の μマップ と呼びます。

複素数 Z を k 乗し、μ だけ平行移動した f(Z)=pow(Z,k)+μ で表されるフラクタルです。 漸化式で表せば、Ｚn+1＝pow(Ｚn,k)+μ で、添え字の n は整数になります。

複素力学系のフラクタルを扱います。 複素数が、関数によって複素平面上を動くとき、初期値を与えて、発散するまで、繰り返し関数を作用させ、発散しなかった点の集合として表されます。 このとき、高さ方向には、繰り返し回数のうち、発散しなかった回数の…

模様の式は、W=_Z pow(Iz,2)+(-i)(1+pow(Iz,2)) とします。 複素数 Z=x+yi の偏角 θ=atan(y/x) とすると、Iz = exp(iθ) = cosθ+ i sinθ になります。 共役複素数_Z=x-yi になります。 例） W = Imult( (x,-y),Ipow(Iz,2) )+Imult( (0,-1),(1,0)+Ipow(Iz,2) )

模様の式は、W=1/tanθ+(Z-_Z)/2=( x/y , y ) とし、複素数 Z=x+yi とします。 複素数 Z の偏角 θ=atan(y/x) とすると、実部は 1/tanθ=x/y になります。 また、虚部は (Z-_Z)/2=(x+yi-x+yi)/2=yi になります。 例） f(x,y)=( x/y , y )

写像により模様を描画します。

複素数 Z が実軸または虚軸に平行な直線を表す場合には、全て、放物線になります。 例） Z=( 1 , y ) の場合 f(Z)=Ipow(Z,2) 直線の式は Z=1+yi で、虚軸に平行な直線になり、二次変換を行うと放物線になります。

複素数Zの二乗で表されます。 式は、W=pow(Z,2)=pow(‖Z‖,2)( cos 2θ+ i sin 2θ) で、複素数Zの絶対値‖Z‖、偏角∠Zをθとします。

γ＝０、δ＝１の場合、W=f(Z)=αZ+β となり、複素数Zが、複素数αの絶対値‖α‖だけ拡大され、偏角∠αだけ回転して、複素数βだけ平行移動します。 例） α=(2,1) , β=(1,0) の場合 f(Z)=Imult(α,Z)+β 原点を中心とする楕円の半長径・半短径をsqrt(5)倍に拡大し、ata…

楕円の式は、Z=Idiv(Imult(A+B,Ipow(Iz,2))+(A-B),2 Iz) で、原点からの実軸方向の半長径 A=1 、原点からの虚軸方向の半短径 B=1/2 とします。 複素数 x+yi の偏角 θ=atan(y/x) とすると、Iz = exp(iθ) = cosθ+i sinθ になります。

α＝０、β＝１の場合、W=f(Z)=1/(γZ+δ)となり、複素数Zが、実数γ倍に拡大され、複素数δだけ平行移動して、それを反転します。 例） γ=1 , δ=(1,1) の場合 f(Z)=Idiv((1,0) ,γZ+δ) 円の反転は、実軸に対象な円になります。

単位円の式は、Z = cosθ+ i sinθ で表され、複素数 x+yi の偏角 θ=atan(y/x) となります。 半径がγの円は、W=γZ になります。

基本的な変換の合成として表すことができます。 W=f(Z)=(αZ+β)/(γZ+δ) (αδ―βγ≠０)

楕円の式は、Z=Idiv(Imult(A+B,Ipow(Iz,2))+(A-B),2 Iz) で、原点からの実軸方向の半長径 A=1 、原点からの虚軸方向の半短径 B=1/2 とします。 複素数 x+yi の偏角 θ=atan(y/x) とすると、Iz = exp(iθ) = cosθ+ i sinθ になります。 例） f(Z)=1/Z=Idiv((1,0…

複素数 Z に対する反転の式は W=1/Z で表されます。

楕円の式は、Z=Idiv(Imult(A+B,Ipow(Iz,2))+(A-B),2 Iz) で、原点からの実軸方向の半長径 A=1 、原点からの虚軸方向の半短径 B=1/2 とします。 複素数 x+yi の偏角 θ=atan(y/x) とすると、Iz = exp(iθ) = cosθ+i sinθ になります。 例） φ=π/6 の場合 f(Z)=Z…

複素数 Z を φ だけ回転させる式は W=Z exp(iφ)=Z(cosφ+ i sinφ) で表されます。

楕円の式は、Z=Idiv(Imult(A+B,Ipow(Iz,2))+(A-B),2 Iz) で、原点からの実軸方向の半長径 A=1 、原点からの虚軸方向の半短径 B=2/3 とします。 複素数 x+yi の偏角 θ=atan(y/x) とすると、Iz = exp(iθ) = cosθ+i sinθ になります。 例） k=2 の場合 f(Z)=k Z…

複素数 Z を k 倍に拡大する式は W=k Z で表されます。 k>1のとき拡大、0

楕円の式は、Z=Idiv(Imult(A+B,Ipow(Iz,2))+(A-B),2 Iz) で、原点からの実軸方向の半長径 A=1 、原点からの虚軸方向の半短径 B=1/2 とします。 複素数 x+yi の偏角 θ=atan(y/x) とすると、Iz = exp(iθ) = cosθ+i sinθ になります。 例） μ=(1,0) の場合 f(Z)…

複素数 Z を μ だけ平行移動する式は W=Z+μ で表されます。

写像による基本的な変換には、平行移動、回転、拡大、反転があります。

複素数 Z の値に対して、複素数 W の値が定まるとき、W を Z の複素関数といい、W=f(Z) で表します。 このときの、複素数 Z に対する新しい複素数 W が写像となります。

式は、f(Iz)=P( (1,0)+pow(Iz,2) ) ( (1,0)-3 pow(Iz,2) )/( pow(Iz,2)-(1,0) )で、 複素数 Z=x+yi の偏角 θ=atan(y/x) とすると、Iz = exp(iθ) = cosθ+i sinθ になります。 複素平面では、Iz=( cosθ, sinθ) になります。 例） P=1/2 の場合 W=Idiv( P Imult…

式は、f(Iz) =(3 Iz-(1,0))/pow(Iz+(1,0),3) で、複素数 Z=x+yi の偏角 θ=atan(y/x) とすると、 Iz = exp(iθ) = cosθ+i sinθ になります。 複素平面では、Iz=( cosθ, sinθ) になります。 例） W= Idiv( 3 Iz-(1,0) , Ipow(Iz+(1,0),3) )