曲面Ｓ上の動点Ｐと半径 ｒ の球の中心Ｏとを結ぶ直線上にあって、ＯＰ・ＯＱ＝pow(r,2) となる点Ｑが描く曲面です。 球の中心Ｏを反転の中心と呼びます。 曲面Ｓと曲面Ｗがあるとき、曲面Ｓの反転曲面が曲面Ｗならば、曲面Ｗの反転曲面は曲面Ｓになります。…

曲面から新しい曲面を生成します。

法ベクトルを用いて、滑らかな曲面を描画します。 //********************************************************************************** #local Fn=1; #local Sc=44; #local Rt=; #local Tr=; object { Smooth_surface2(,,Fn) texture { Ts } scale Sc r…

三角形の頂点における法ベクトルを用いて、滑らかな曲面を生成します。 //********************************************************************************** 入力 V1：第一変数Uの範囲 ＜始点，終点，刻み幅＞ V2：第二変数Vの範囲 ＜始点，終点，刻み…

スムーズな曲面を生成するために、曲面の座標とその位置の外向き法ベクトルを求めます。 //********************************************************************************** 入力 U ：第一変数の値 V ：第二変数の値 Fn：式の登録番号 出力 N ：配列N…

径数形式で表された曲面を、第一変数の刻み幅π/32、第二変数の刻み幅3/32で描画します。 //********************************************************************************** #local Fn=1; #local Sc=44; #local Rt=; #local Tr=; object { Curved_surf…

径数形式で表された曲面を、第一変数の刻み幅π/8、第二変数の刻み幅3/8で描画します。 //********************************************************************************** #local Fn=1; #local Sc=44; #local Rt=; #local Tr=; object { Curved_surfac…

ここでは、四個の三角形で構成した曲面を単位として、全体の曲面を生成します。 //********************************************************************************** 入力 V1：第一変数Uの範囲 ＜始点，終点，刻み幅＞ V2：第二変数Vの範囲 ＜始点，終…

径数形式で表された曲面の式を登録します。 式は登録した番号で呼び出します。 //********************************************************************************** 入力 U：第一変数の値 V：第二変数の値 Fn：式の登録番号 出力 F：第一変数と第二変数…

レンダリング環境を設定します。 数学の式を扱うので、右手座標系を用います。 //********************************************************************************** global_settings { assumed_gamma 1.0 max_trace_level 5 } camera { location -300*y…

ＰＯＶ−Ｒａｙによる曲面の描画方法について説明をします。 径数形式の曲面は、S(u,v)=( x(u,v),y(u,v),z(u,v) )で表されるので、第一変数uと第二変数vの始点、終点、刻み幅を指定して、三角形の面を用いて曲面を描画します。 第一変数uの刻み幅を⊿u、第二変…

正則曲面の曲率には、法曲率、主曲率、ガウス曲率、平均曲率があります。 法曲率は曲面を法ベクトルを含む平面で切ったときの切り口がつくる平面曲線の曲率です。 曲面を法ベクトルを含む平面で切るとき、法ベクトルの方向を中心軸とすれは、中心軸で切る方…

正則曲面Ｓの式を二階偏微分したＳuu、Ｓuv、Ｓvvと単位法ベクトルｎの内積で表されます。 Ｌ＝Ｓuu・ｎ＝∂Ｓ/∂u・∂n/∂u Ｍ＝Ｓuv・ｎ＝Ｓvu・ｎ＝∂Ｓ/∂v・∂n/∂u＝∂Ｓ/∂u・∂n/∂v Ｎ＝Ｓvv・ｎ＝∂Ｓ/∂v・∂n/∂v 単位法ベクトルは ｎ＝(Ｓu×Ｓv)/‖Ｓu×Ｓv‖ にな…

正則曲面Ｓの式を一階偏微分したＳuとＳvとにより内積で表されます。 Ｅ＝∂Ｓ/∂u・∂Ｓ/∂u＝Ｓu・Ｓu Ｆ＝∂Ｓ/∂u・∂Ｓ/∂v＝Ｓu・Ｓv＝Ｓv・Ｓu Ｇ＝∂Ｓ/∂v・∂Ｓ/∂v＝Ｓv・Ｓv ＰＯＶ−Ｒａｙには、vdotが用意されていて、ＳuとＳvの内積を、vdot(Ｓu,Ｓv)によ…

第一基本量と第二基本量についての説明をします。

滑らかな曲面のことで、曲面S(u,v)=( x(u,v),y(u,v),z(u,v) )において、第一変数uで一階偏微分したＳuと、第二変数v で一階偏微分したＳvの外積が、零ベクトルにならないときに正則曲面になります。 式で表すと ∂Ｓ/∂u×∂Ｓ/∂v＝Ｓu×Ｓv≠０ になります。

空間座標(x,y,z)において、S(u,v)=( x(u,v),y(u,v),z(u,v) )で定義される曲面です。

オープンは、デフォルトでは、定義されていません。 その場合、等位面と生成範囲の交差面も生成されます。 オープンを指定すると、等位面と生成範囲の交差面は、生成されません。 例） #declare fnc = function(x,y,z) { pow(x,2)+pow(y,2)+pow(z,2)-pow(2,2…

最大勾配については、デフォルトの１.１で描画してみて、メッセージタブのワーニングを確認します。 もし、ワーニングがでていたら、そのメッセージの中に、実際の最大勾配の値が記載されているので、その値を指定して、再レンダリングします。 ワーニングが…

閾値は、等位面でいうkの値で、指定しなくても、デフォルトで０が定義されています。 当然０以外の値を指定することもできます。 例） #declare fnc = function(x,y,z) { pow(x,2)+pow(y,2)+pow(z,2) } isosurface { function { fnc(x, y, z) } contained_by…

生成範囲は、球かボックスを指定することができます。 例） #declare fnc = function(x,y,z) { pow(x,2)+pow(y,2)+pow(z,2)-pow(2,2) } isosurface { function { fnc(x, y, z) } contained_by { box { -2, 2 } } max_gradient 5.980 texture { Tc } scale Sc…

関数としては、描画したい曲面の陰形式であるf(x,y,z)を指定します。 例） #declare fnc = function(x,y,z) { sqrt(pow(x,2)+pow(y,2)+pow(z,2))-2 } isosurface { function { fnc(x, y, z) } contained_by { box { -2, 2 } } texture { Tc } scale Sc rotat…

ＰＯV−Ｒａｙには、等位面を描画するためのに、isosurface という命令が用意されています。 isosurfaceは、基本的に、関数、生成範囲、閾値、最大勾配、オープンを指定することにより、等位面を描画することができます。

等位面はf(x,y,z)=kで表される曲面で、f(x,y,z)-k=0とすることにより、陰形式の曲面として描画することができます。 また、陰形式のf(x,y,z)=0は、k=0の等位面とみなすことができます。

空間座標(x,y,z)において、f(x,y,z)=０で定義される曲面です。

曲面を表す式の種類には、陰形式、径数形式、モンジュ形式があります。

曲面の描画方法について説明をしていきたいと思います。

The Accessories ということで、曲線deモデリングについて説明をしてきましたが、終わらせていただきます。 はてなダイアリーを始めて１年が過ぎました。 今回の曲線deモデリングでは、星を付けて頂き、どうも、有難う御座いました。 見ていただいた方々の何…

水晶球の配置 直線：P=( t , 0 , 0 ) (-6≦t＜6) 飾り 半球面曲線：x=R cos t , y=-sqrt(pow(r,2)-pow(x,2)-pow(z,2)) , z=R sin t , r=1 R=(4 sin 2t +1)/8 (-π≦t＜π) 直線上に配置した水晶球です。 直線の刻み幅は２で、水晶球の半径は１です。 中央の水晶…

平面曲線を曲面上に生成した飾りを用います。