先ず、焦点を原点とする彗星の軌道を描きます。

彗星の軌道を日心黄道座標に配置する方法について説明をします。

地心黄道座標系における太陽の軌道をｚ軸に対して１８０度回転させて、太陽の中心に平行移動させた軌道が、日心黄道座標系における地球の軌道になります。 太陽の軌道要素である、近日点黄経ω'を ω'＝ω'±１８０度 としたものになります。

太陽の地心黄道直交座標Ｓ(Sx，Sy，Sz)、地球の日心黄道直交座標Ｅ(Ex，Ey，Ez) とすれば、地球の位置Ｅは、次の式で表されます。 Ｅ＝−Ｓ , (Ex，Ey，Ez)＝(−Sx，−Sy，−Sz)

太陽の地心黄道直交座標(Sx，Sy，Sz）は、太陽の地心距離である動径ｒと太陽の地心黄経λsから、次のようになります。 ( Sx，Sy，Sz )＝( ｒ cos λs ，ｒ sin λs ，０ )

太陽の地心黄経λsは、真近点角νに近日点黄経ω'を加えた角度になります。 λs＝ν＋ω' 太陽と地球は、同じ黄道面にあるので、太陽の黄緯βsは、βs＝０ になります。 よって、太陽の地心黄道座標は(λs ,０）になります。

計算した軌道要素の値から、彗星の楕円軌道と同じ方法で、太陽の地心距離である動径ｒと真近点角νを求めます。

時間引数Tは、位置を求めたい日時のユリウス日JDから、次の式で求めます。 T＝(JD−２４５１５４５)/３６５２５ （J２０００.０） この時間引数Tを用いて、位置を求めたい日時の軌道要素の値を計算しておきます。 ＜参考＞ ＰＯＶ−Ｒａｙにおける太陽の軌道要…

太陽の軌道要素は、平均黄経L、近日点黄経ω'、軌道離心率ｅ、軌道長半径ａの四つになります。 昇交点黄経Ωは、Ω＝０、軌道傾斜角ｉは、ｉ＝０ となります。 太陽の軌道要素は、地心データとして与えられています。

地球を中心とする太陽の地心黄道直交座標を、太陽を中心とする日心黄道直交座標に変換すれは、地球の位置が求まります。

彗星の地心赤道座標(α,δ)を地心赤道直交座標(X,Y,Z)から求めます。 α＝atan2( Y , X ) , δ＝atan2( Z , sqrt(pow(X,2)+pow(Y,2)) ) ＜参考＞ Δ cosδcosα＝X , Δ cosδsinα＝Y , Δ sinδ＝Z （Δ：地心距離）

彗星の日心赤道直交座標(ｘ'c , ｙ'c , ｚ'c)と太陽の地心赤道直交座標(ｘ's , ｙ's , ｚ's)から、彗星の地心赤道直交座標(X,Y,Z)を、次の式から求めます。 (X,Y,Z)＝(ｘ'c , ｙ'c , ｚ'c)+(ｘ's , ｙ's , ｚ's)＝(ｘ'c＋ｘ's , ｙ'c＋ｙ's , ｚ'c＋ｚ's) 太…

彗星の日心距離である動径ｒと真近点角νおよび推算常数から、彗星の日心赤道直交座標(ｘ'c , ｙ'c , ｚ'c)は、次のようになります。 ｘ'c＝Px(ｒ cos ν)＋Qx(ｒ sin ν) ｙ'c＝Py(ｒ cos ν)＋Qy(ｒ sin ν) ｚ'c＝Pz(ｒ cos ν)＋Qz(ｒ sin ν)

彗星の位置を、推算常数を用いて求める方法について説明をします。 軌道要素と黄道傾斜角を用いて表される推算常数の式は、次の通りです。 Px＝cos ω cos Ω−sin ω cos ｉ sin Ω Py＝( cos ω sin Ω＋sin ω cos ｉ cos Ω ) cos ε−sin ω sin ｉ sin ε Pz＝( cos…

彗星の地心赤道座標(α , δ)を地心赤道直交座標(X,Y,Z)から求めます。 α＝atan2( Y , X ) δ＝atan2( Z , sqrt(pow(X,2)+pow(Y,2)) )

彗星の地心赤道直交座標(X,Y,Z)を、彗星の日心赤道直交座標(ｘ'c , ｙ'c , ｚ'c)と地球の日心赤道直交座標(ｘ'e , ｙ'e , ｚ'e)から求めます。 彗星の地心赤道直交座標は、 (X,Y,Z)＝(ｘ'c , ｙ'c , ｚ'c)−(ｘ'e , ｙ'e , ｚ'e)＝(ｘ'c−ｘ'e , ｙ'c−ｙ'e , …

日心赤道直交座標(ｘ', ｙ', ｚ')を日心黄道直交座標(ｘ , ｙ , ｚ)と黄道傾斜角εから求める式は、次のようになります。 ｘ'=ｘ ｙ'=ｙ cos ε−ｚ sin ε ｚ'=ｙ sin ε＋ｚ cos ε 時間引数Tから軌道傾斜角εを求める式は、次のようになります。 ε＝23＋26/60＋2…

赤道面を基準とした座標系で、黄道は赤道から黄道傾斜角εだけ傾いています。

黄緯引数ｕ、軌道傾斜角ｉ、昇交点黄経Ωから日心黄道座標(λ,β)を求めます。 tan ｃ＝cos ｉ tan ｕ tan β＝tan ｉ sin ｃ ｃ＝atan( cos ｉ tan ｕ) λ＝ｃ＋Ω β＝atan( tan ｉ sin ｃ) このとき、ｃとｕの角度は同一象限になります。もし、同一象限にない場…

彗星の六軌道要素から求めた真近点角νを用いて、黄緯引数ｕを求めます。 黄緯引数ｕ＝真近点角ν＋近日点引数ω 彗星の日心黄道直交座標(ｘ,ｙ,ｚ)は、黄緯引数ｕ、昇交点黄経Ω、軌道傾斜角ｉと日心距離である動径ｒから、次の式で求めることができます。 ｘ＝…

黄道面を基準とした座標系である黄道座標について説明をします。

彗星の双曲線軌道上の位置P(ｘ,ｙ)は、離心近点角(相当)Ｅまたは真近点角νから求めることができます。 また、彗星の日心距離である動径ｒも求めることができます。 ｒ＝ａ(pow(ｅ,２)−１)/(１＋ｅ cos ν)＝ａ(ｅ cosh Ｅ−１) ｘ＝ｒ cos ν＝ａ(ｅ−cosh Ｅ) …

離心近点角(相当)Ｅが求まれば、次の式により真近点角νを求めることができます。 ν＝atan2( sqrt(pow(ｅ,２)−１) sinh Ｅ , ｅ−cosh Ｅ) ＜参考＞ ＰＯＶ−Ｒａｙでは、atan(ｙ/ｘ)=atan2(ｙ,ｘ) になります。 但し、atan(ｙ/ｘ)は、ｘ＝０のとき、使用できま…

双曲線軌道に離心近点角はありませんが、離心近点角に相当する角があるので、ここでは、それを便宜上、離心近点角(相当)Ｅと呼ぶことにします。 次に示すケプラーの方程式に相当する式から、離心近点角(相当)Ｅをラジアンで求めます。 M = ｅ sinh Ｅ−ｅ （…

彗星の位置を求めたい日時ｔ、近日点通過日時Tとすれば、近日点からの時間も含めた日数(ｔ−Ｔ) に、平均日々運動量ｎを掛けた値が、平均近点角Mになります。 M＝ｎ(ｔ−Ｔ) (ｔ−Ｔ)は、ユリウス日または修正ユリウス日を用いて求めることができます。

ガウス引力定数ｋと半主軸長ａから、平均日々運動量ｎを求めます。 ｎ＝sqrt(GMs)/sqrt(pow(ａ,３))＝ｋ/pow(ａ,３/２)

彗星の軌道要素である、近日点距離ｑと離心率ｅから、半主軸長ａを求めます。 ａ＝ｑ/(ｅ−1) 半主軸長ａは、漸近線の交点から近日点までの距離になります。

彗星の軌道要素の一つである離心率ｅがｅ＞１の場合、彗星は、双曲線軌道になります。

彗星の放物線軌道上の位置P(ｘ,ｙ)は、真近点角νから求めることができます。 また、彗星の日心距離である動径ｒも求めることができます。 ｒ＝２ｑ/(１＋cos ν)＝ｑ(１＋pow( tan ν/２,２)) ｘ＝ｒ cos ν＝ｑ(１- pow( tan ν/２,２)) ｙ＝ｒ sin ν＝２ｑ tan…

ケプラーの方程式は三次式なので、厳密解を求めることができます。 平均近点角Mから、真近点角νの厳密解を求める方法は、 tan ２β＝２/(３M) tan γ＝pow( tan β,１/３) tan ν/2＝２ cot 2γ＝(１- pow( tan γ,２))/tan γ＝S となり、 ν＝２ atan S から、真近…