【式】 γ(t)=α'(t )/‖α'(t )‖ ( -π≦t＜7π) α(t)=R( cos t, sin t, 1 ) , R=K pow(e,Mt) , K=1/5 , M=1/9 媒介変数表示の円錐螺旋から描いたガウス写像で、平面曲線の円になります。

【式】 γ(s)=α'(s) ( -9π≦s＜10π) α(s)=( A cos s/k, A sin s/k, B s/k ) A=4 , B=1/2 , k=sqrt(pow(A,2)+pow(B,2)) 弧長パラメータ表示の常螺旋から描いたガウス写像で、平面曲線の円になります。

曲線の式から生成したガウス写像の画像を載せます。

【式】 β(t)=K(α(t)-Ｏ)+Ｏ K=pow(r/‖α(t)-Ｏ‖,2) , 半径r=1 , 中心Ｏ=(0,0,0) ( -π≦t＜π) α(t)=R( 2 pow(cos t,2), sin 2t, 2 sin t ) , R=2/3 半径が１で中心が原点の球に関するビビアニの曲線の反転は、縮小されたビビアニの曲線になります。

【式】 β(t)=K(α(t)-Ｏ)+Ｏ ( -π＜t＜π) K=pow(r/‖α(t)-Ｏ‖,2) , 半径 r=1 , 中心 Ｏ=(0,0,0) α(t)=( R cos t, 0, R sin t ) , R=A(1+cos t) , A=1 半径が１で中心が原点の反転円における心臓形の反転は、原点が焦点の放物線になります。

【式】 β(t)=K(α(t)-Ｏ)+Ｏ K=pow(r/‖α(t)-Ｏ‖,2) , 半径r=1 , 中心Ｏ=(-1/2,0,0) ( -π＜t＜π) α(t)=( R cos t, 0, R sin t ) , R=m/(1-e cos t) , m=1 , e=1 半径が１で中心が(-1/2, 0, 0)の円に関する放物線の反転で、放物線の頂点における反転は疾走線に…

曲線の式から生成した反転曲線の画像を載せます。

【式】 β(t)=α(t)+K e1(t) e1(t)=α'(t)/‖α'(t)‖ , K=e1(t)・(C-α(t)) , C=(0,0,0) ( -π≦t＜π) α(t)=R( 2 pow(cos t,2), sin 2t, 2 sin t ) , R=1 原点に関するビビアニの曲線の垂足曲線は、元の曲線と同じビビアニの曲線になります。

【式】 β(t)=α(t)+K e1(t) ( -π≦t＜π) e1(t)=α'(t)/‖α'(t)‖ , K=e1(t)・(C-α(t)) , C=(0,0,0) α(t)=( R cos t, 0, R sin t ) , R=1/(1-e cos t) , e=4/3 焦点に関する双曲線の垂足曲線は、円になります。 双曲線は離心率e＞1の円錐曲線で、原点が焦点になり…

【式】 β(t)=α(t)+K e1(t) e1(t)=α'(t)/‖α'(t)‖ , K=e1(t)・（C-α(t)）, C=(1,0,0) (-π≦t＜π) α(t)=( R cos t, 0, R sin t ) , R=-2 cos t 定点(1,0,0) に関する円の垂足曲線は、パスカルの蝸牛形になります。 定点が円周上にある場合は、心臓形になります。…

曲線の式から生成した垂足曲線の画像を載せます。

【式】 α(t)=β(t)+e2(t)/κ(t) ( -2π≦t＜2π) e2(t)=(β'(t)×β''(t))×β'(t)/‖(β'(t)×β''(t))×β'(t)‖ κ(t)=‖β'(t)×β''(t)‖/pow(‖β'(t)‖,3) β(t)=R( 1+cos t, sin t, 2 sin t/2 ) , R=2 媒介変数表示のビビアニの曲線から、縮閉線を描いています。

【式】 α(t)=β(t)+e2(t)/κ(t) ( -3≦t＜3 ) e2(t)=(β'(t)×β''(t))×β'(t)/‖(β'(t)×β''(t))×β'(t)‖ κ(t)=‖β'(t)×β''(t)‖/pow(‖β'(t)‖,3) β(t)=( A t, B pow(t,2), C pow(t,3) ) , A=2/3 , B=1 , C=1 媒介変数表示のねじれ三次曲線から、縮閉線を描いています。

【式】 α(s)=β(s)+N(s)/κ(s) , N(s)=β''(s)/‖β''(s)‖ , κ(s)=‖β''(s)‖ (-8.5π≦s＜8.5π) β(s)=( A cos sk, A sin sk, B sk ) A=κ/sqrt(pow(κ,2)+pow(τ,2)) B=τ/sqrt(pow(κ,2)+pow(τ,2)) k=sqrt(pow(κ,2)+pow(τ,2)) 曲率 κ=1/10 , 捩率 τ=1/5 曲率と捩率で表さ…

曲線の式から生成した縮閉線の画像を載せます。

【式】 β(s)=α(s) - s α'(s) ( 0≦s＜24π) α(s)=( A cos s/k, A sin s/k, B s/k ) A=4 , B=1/2 , k=sqrt(pow(A,2)+pow(B,2)) 弧長パラメータ表示の常螺旋から、伸開線を描いています。 伸開線は m=s/k とすれば x(s) = A( cos m + m sin m ) y(s) = A( sin m …

【式】 β(s)=α(s) - s α'(s) ( -60≦s＜60 ) α(s)=( A asinh s/A, 0, sqrt(pow(A,2)+pow(s,2)) , A=2 弧長パラメータ表示の懸垂線から、伸開線を描いています。 懸垂線の伸開線は追跡線と呼ばれる曲線です。 追跡線の縮閉線は懸垂線です。 ＰＯＶ−Ｒａｙでは…

【式】 β(s)=α(s) - s α'(s) ( 0≦s＜4π) α(s)=( R cos s/R, 0, R sin s/R ) , R=2 原点を中心とし半径が２の円の接線が、伸開線の法線になる曲線で、式は x(s)=R cos s/R + s sin s/R y(s)=0 z(s)= R sin s/R - s cos s/R です。

曲線の式から生成した伸開線の画像を載せます。

曲線から、式により生成される曲線を、レンダリングして載せていきます。

媒介変数表示の曲線を描画する方法で、弧長パラメータ表示や媒介変数表示のガウス写像を描画することができます。

曲線αが媒介変数表示の場合は、γ(t)=e1(t)で、e1(t)は曲線αの単位接線ベクトルです。

曲線αが弧長パラメータ表示の場合は、γ(s)=T(s)で、T(s)は曲線αの単位接線ベクトルです。

曲線α上の動点Ｐにおける単位接線ベクトルを、原点に平行移動したときの単位接線ベクトルの軌跡がガウス写像になります。 ガウス写像は単位接線ベクトルの軌跡なので単位球面上の曲線になります。 このことから、ガウスの球面表示とも呼ばれます。

曲線αが平面曲線であっても、同じ式で反転曲線を描くことができます。 ｘｙ平面上の曲線であれば、ｚ座標を０にするだけです。 但し、球ではなく、半径が ｒ で中心がＯ の円に関する曲線αの反転になります。

媒介変数で表された曲線α(t)の反転曲線β(t)は、 β(t)=K(α(t)-Ｏ)+Ｏ , K=pow(r/‖α(t)-Ｏ‖,2)となります。 弧長パラメータ表示の曲線も媒介変数表示の曲線も反転曲線の式は同じです。 半径が ｒ で中心がＯ(Ox,Oy,Oz)の球に関する動点Ｐ(Px,Py,Px)の反転を、 …

Ｑの座標はＱ=K(Ｐ-Ｏ)+Ｏ , K=pow(r/‖Ｐ-Ｏ‖,2)となるので、弧長パラメータで表された曲線α(s)の反転曲線β(s)は、β(s)=K(α(s)-Ｏ)+Ｏ , K=pow(r/‖α(s)-Ｏ‖,2)となります。

曲線α上の動点Ｐと半径 ｒ の球の中心Oとを結ぶ直線上にあって、ＯＰ・ＯＱ＝pow(ｒ,2) となる点Ｑが描く曲線です。 球の中心Ｏを反転の中心と呼びます。 曲線αと曲線βがあるとき、曲線αの反転曲線が曲線βならば、曲線βの反転曲線は曲線αになります。

媒介変数表示の曲線を描画する方法で、弧長パラメータ表示や媒介変数表示の垂足曲線を描画することができます。 また、平面曲線の垂足曲線も描くことができます。

媒介変数で表された曲線α(t)の垂足曲線β(t)は、 β(t)=α(t) +Ke1(t) , K=e1(t)・（C-α(t)）で、 e1(t)は曲線α(t)の単位接線ベクトルです。