式） 楕円放物面 pow(ｘ,2)＋pow(３ｙ/４,2)−２ｚ＝０ ( -3≦x≦3 , -4≦y,z≦4 ) ｘとｙの項の定数が同じ値の時には、放物回転面になります。

式） 円環面 pow(sqrt(pow(ｘ,2)+pow(ｙ,2))−Ｒ,2)＋pow(ｚ,2)＝pow(ｒ,2) ( R=5, r=1 ) ( -6≦x,y≦6 , -1≦z≦1 ) ＰＯＶ−Ｒａｙには、円環面を描画するためのtorusが、用意されています。

式） 楕円面 pow(ｘ/ａ,2)＋pow(ｙ/ｂ,2)＋pow(ｚ/ｃ,2)＝１ ( a=2, b=3, c=1 ) ( -2≦x≦2, -3≦y≦3, -1≦z≦1 ) 三つの定数ａ、ｂ、ｃのうち、二つの定数が同じ値の場合には、楕円回転面になります。 また、三つの定数が全て同じ値の時には、球面になります。

式） 球面 pow(ｘ,2)＋pow(ｙ,2)＋pow(ｚ,2)＝pow(ｒ,2) ( r=1 ) ( -1≦x,y,z≦1 ) 閉複曲面である、原点が中心で、半径が１の球面です。

閉複曲面および開複曲面の画像を載せます。

式） 単双曲面 pow(ｘ/ａ,2)＋pow(ｙ/ｂ,2)−pow(ｚ/ｃ,2)＝１ ( a=4/3, b=1, c=1 ) ( -3≦x,y≦3, -1≦z≦1 )

式） 双曲放物面 pow(ｘ,2)−pow(ｙ,2)−ｚ＝０ ( -1≦x,y,z≦1 )

式） 双曲放物面 ｘｙ−ｚ＝０ ( -1≦x,y,z≦1 )

母線を二種類持つ二次曲面を載せます。

式） プリュッカーのコノイド ２ｘｙ−(pow(ｘ,2)+pow(ｙ,2))ｚ＝０ ( -1≦x,y,z≦1 )

式） 正コノイド pow(ｘ,2)−pow(ｙ,2)−(pow(ｘ,2)+pow(ｙ,2))ｚ＝０ ( -2≦x,y,z≦2 )

コノイドと呼ばれる曲面の画像を載せます。

式） へび状曲線の直柱面 pow(x,2)ｙ−pow(ａ,2)ｘ＋pow(ｂ,2)ｙ＝０ ( a=2, b=1 ) ( -3/2≦x≦2, -2≦y≦12, -1≦z≦1 )

式） 円柱面 pow(ｘ,2)＋pow(ｙ,2)＝１ ( -1≦x,y,z≦1 )

式） 円錐面 pow(ｘ,2)＋pow(ｙ,2)−pow(ｚ,2)＝０ ( -1≦x,y,z≦1 )

式） 二次平面 pow(ｘ,2)＝pow(ａ,2) , ( a=3/4 ) ( -1≦x,y,z≦1 )

ここでは、平面も可展面として、挙げておきます。

等位面をレンダリングした画像を載せます。

これまで説明してきた曲面の画像を載せていきます。

向きづけが不可能で、表と裏を区別できない曲面です。

回転面以外の閉複曲面および開複曲面になります。

式は、S(u,v)=(φ(u)cos v, φ(u)sin v, ψ(u) ) になります。 ｘｚ平面上の母線(φ(u) , 0, ψ(u) )、または、ｙｚ平面上の母線( 0, φ(u), ψ(u) )を、ｚ軸の周りに回転させた曲面です。 母線は、回転面の輪郭線γ(u)になります。 例） 楕円回転面 γ(u)=( A cos u,…

ＰＯＶ−Ｒａｙには、ｙ軸回転面を生成するlatheという命令が用意されていて、母線となる曲線の座標データを指定することにより、回転面を生成します。 一般的には、ろくろと呼ばれる機能です。 式は、S(u,v)=(φ(u)cos v, ψ(u), φ(u)sin v ) になり、母線は、…

式は、S(u,v)=(φ(u), ψ(u) cos v, ψ(u) sin v ) になります。 ｘｙ平面上の母線(φ(u), ψ(u) , 0 )、または、ｘｚ平面上の母線(φ(u) , 0, ψ(u) )を、ｘ軸の周りに回転させた曲面です。 母線は、回転面の輪郭線γ(u) になります。 例） 楕円回転面 γ(u)=( A cos…

定直線を軸として、そのまわりを平面曲線が回転するときに生成される曲面です。

母線となる曲線が空間を移動して生成される曲面です。

母線となる直線が二種類ある線織面です。 例） S(u,v)=( r cos u, r sin u, 0 )+v( r sin u, -r cos u, 1 ) , r=1/sqrt(2) ( -π≦u S(u,v)=( r sin u, r cos u, 0 )+v( -r cos u, r sin u, 1 )

曲線が定直線のまわりを回転しつつ、その定直線の方向にも平行移動して生成される曲面です。 式で表すと、S(u,v)=γ(u)+vγ''(u)になります。 空間曲線をγ(u)とすると、その曲線の加速度ベクトルがγ''(u)になります。 加速度ベクトルは、中点差分法により、γ''…

母線となる直線が、導線となる平面曲線と直線に接触しながら、導平面に対して平行移動して生成される曲面です。 コノイドと呼ばれる曲面を式で表すと、S(u,v)=( u cos v, u sin v, δ(u) ) になります。

導線となる空間曲線の接線を母線とする曲面で、式は、S(u,v)=γ(u)+vγ'(u) になります。 空間曲線をγ(u)とすると、その曲線の接ベクトルがγ'(u)になります。 接ベクトルγ'(u)は、中点差分法により、γ'(u)=(γ(u+H/2)-γ(u-H/2))/H となります。 Hは第一変数uの…