垂足曲線

ネフロイドの原点に関する垂足曲線は デューラーの葉状曲線になります

ネフロイドの垂足曲線

【式】

　ネフロイド　　　　α(t)=( 3 cos t - cos 3t , 0 ,  3 sin t - sin 3t )

　垂足曲線　　　　　β(t)=α(t)+e1(t) K　　(-π＜t＜π)
　接線ベクトル　　　α'(t)=(α(t+H/2)-α(t-H/2))/H　　(H=⊿t)
　単位接線ベクトル　e1(t)=α'(t)/‖α'(t)‖ , K=e1(t)・(C-α(t)) , C=(0,0,0)

球面曲線

球面上の曲線をレンダリングしました

球面曲線

【式】

　　球面曲線　　P(t) = ( x(t) , y(t) , z(t) )　　(-8π≦t＜8π)

　　　　　　　　r(t) = A cos Nt

　　　　　　　　x(t)  = r(t) cos t
　　　　　　　　y(t) = ±sqrt(R^2-x(t)^2-z(t)^2)
　　　　　　　　z(t)  = r(t) sin t

　　　　　　　　R=1 , A=1 , N=9/4

カオス

グモウスキーとミラの写像をレンダリングしました

グモウスキーとミラの写像

【式】

　グモウスキーとミラの写像　　W=(x(n),y(n))　　(0≦n≦6000)

　　　　　　　　　　　　　　　x(n+1)=y(n)+A(1−By(n)^2)y(n)+F(n)
　　　　　　　　　　　　　　　y(n+1)=−x(n)+F(n+1)
　　　　　　　　　　　　　　　F(n)=Mx(n)+2(1−M)x(n)^2/(1+x(n)^2)

         M=0.31 , A=0.10 ,  B=0.05 , x(0)=12 , y(0)=0.5

         プロット範囲　１００＜ｎ≦６０００

空間曲面

バルトの六次曲面をレンダリングしました

バルトの六次曲面

【式】

　バルトの六次曲面

　4(Φ^2 x^2-y^2)(Φ^2 y^2-z^2)(Φ^2 z^2-x^2)-(1+2Φ)(x^2+y^2+z^2-1)^2=0

　Φ=(1+sqrt(5))/2

　参考までに isosurface による陰関数曲面の描画方法を載せておきます
    //**********************************************************************************      
    #local J=(1+sqrt(5))/2;           
    #declare fnc = function(x,y,z)
        { 4*(J*J*x*x-y*y)*(J*J*y*y-z*z)*(J*J*z*z-x*x)-(1+2*J)*pow(x*x+y*y+z*z-1,2) }
    #local Vc=<0,3997.830,0>;
    #local Sc=26; #local Rt=-30*x; #local Tr=2*z;
    #local ISC = pigment { color rgb < 0.652, 0.211, 0.711 > }
    //
    isosurface {
     function { fnc(x, y, z) }
     contained_by { sphere { 0, 3.2 } }
     #if(abs(Vc.x)>0) threshold Vc.x #end
     #if(abs(Vc.y)>1.1) max_gradient Vc.y #end
     #if(Vc.z=0) open #end
    pigment { ISC } scale Sc rotate Rt translate Tr }
    //**********************************************************************************

縮閉線

外サイクロイドの縮閉線は外サイクロイドになります

外サイクロイドの縮閉線

【式】

　外サイクロイド　　　β(t)=( Px , 0 , Pz )

　　　　　　　　　　　　Px = (A+B) cos t + B cos t(A+B)/B
　　　　　　　　　　　　Pz = (A+B) sin t + B sin t(A+B)/B

　　　　　　　　　　 　  A=5 , B=3

　縮閉線　　　　　　　α(t)=β(t)+e2(t)/κ(t)　　　( -3π≦t＜3π )
　単位主法線ベクトル　e2(t)=(β'(t)×β''(t))×β'(t)/‖(β'(t)×β''(t))×β'(t)‖
　曲率　　　　　　　　κ(t)=‖β'(t)×β''(t)‖/pow(‖β'(t)‖,3)

　速度ベクトル　　　　β'(t)=(β(t+H/2)-β(t-H/2))/H　　(接線ベクトル)
　加速度ベクトル　　　β"(t)=(β(t+H)-2β(t)+β(t-H))/H^2　　(H=⊿t)