軌道要素から、惑星の位置を求めるには、
１）平均黄経Ｌと近日点黄経ω'から、平均近点角MAを求める。
２）平均近点角MAと軌道離心率ｅから、離心近点角Ｅを求める。
３）離心近点角Ｅと軌道離心率ｅから、真近点角TAを求める。
４）真近点角TA、軌道長半径ａ、軌道離心率ｅから、惑星までの距離ｒを求める。
５）真近点角TA、近日点黄経ω'と昇交点黄経Ωから、黄緯引数Ｕを求める。
６）惑星までの距離ｒ、黄緯引数Ｕ、昇交点黄経Ω、軌道傾斜角ｉから、黄道直交座標を求める。
まず、平均近点角MAを、
MA=radians(mod(Ｌ−ω'＋360 ,360)) により、正の値とし、単位を度からラジアンに変換して求める。
次に、離心近点角Ｅの解の誤差を±０．００００１として、この絶対値を、浮動小数点で、Eps=1e-5 と指定する。
初期値E1、E2 を E1=MA+π、E2=MA とし、
もし、abs(E2−E1)＞Eps のときは、E1＝E2、E2＝MA+ｅ×sin(E1) の計算を繰り返す。
そして、E2−E1が±Eps以内になったときの E2 が、離心近点角Ｅになる。
離心近点角Ｅである E2 を用いて、
TA＝atan(sqrt(1−pow(ｅ,2))×sin(E2)／(cos(E2)−ｅ)) から、真近点角TAを求め、
TA=mod(degrees(TA)＋360 ,360)で、単位をラジアンから度に変換した正の値にする。
radians(N)は、角度Nの単位を度からラジアンに変換した値を返す。
radians(N)＝π×Ｎ／180
mod(M ,D)は、MをDで整数除算したときの余りを返す。
POV-Rayでは、実数を浮動小数点で表すことができる。
例）0.00001=1e-5
POV-Rayでは、πをpiと記述して使用する。
abs(N)は、Nの絶対値を返す。
atan(N)は、tanの逆関数で、タンジェントの値がNになる角度をラジアンで返す。
POV-Rayでは、atan(N)を使わず、atan2(M ,D)を使用する。
このときN＝M／Dとなる。
sqrt(N)は、Nの平方根を返す。
pow(A ,N)は、AのN乗の値を返す。
degrees(N)は、角度Nの単位をラジアンから度に変換した値を返す。
degrees(N)＝180×N／π
次に、軌道長半径ａ、軌道離心率ｅ、真近点角TAから、惑星までの距離ｒを、
ｒ=ａ×(1−pow(ｅ,2))／(1＋ｅ×cos(radians(TA))) で求め、
黄緯引数Ｕを、Ｕ＝mod(TA＋ω'−Ω＋360 ,360) から求めて、
惑星の位置を、惑星までの距離ｒ、黄緯引数Ｕ、昇交点黄経Ω、軌道傾斜角ｉから、黄道直交座標（ｘ，ｙ，ｚ）として求める。
ｘ＝ｒ×(cos(radians(Ｕ))×cos(radians(Ω))
−sin(radians(Ｕ))×sin(radians(Ω))×cos(radians(ｉ)))
ｙ＝ｒ×(cos(radians(Ｕ))×sin(radians(Ω))
＋sin(radians(Ｕ))×cos(radians(Ω))×cos(radians(ｉ)))
ｚ＝ｒ×sin(radians(Ｕ))×sin(radians(ｉ))
