空間内に指定された二点間をなめらかな曲線で描く方法に、三次のベジェ曲線があります。
この方法で、座標データから空間曲線を描くことができます。
Ｐ1とＰ2の二点間を三次のベジェ曲線で描くには、Ｐ1とＰ2の方向線が必要になります。
そこで、この二つの方向線の点Ｃ１とＣ２の座標を、空間内に指定した点Ｐ0、Ｐ1、Ｐ2、Ｐ3の座標データから計算により求めます。
Ｐ1の方向線は、曲線上の点Ｐ1における接線上のベクトルになるように、
Ｐ1−Ｐ0のベクトルとＰ2−Ｐ1のベクトルとがなす角の二等分線を、Ｃ１−Ｐ1のベクトルとします。
Ｐ2の方向線は、曲線上の点Ｐ2における接線上のベクトルになるように、
Ｐ2−Ｐ3のベクトルとＰ1−Ｐ2のベクトルとがなす角の二等分線を、Ｃ２−Ｐ2のベクトルとします。
Ｐ1の方向線の点Ｃ１の座標は、Ｃ１=Ｐ1+(Ｐ1-Ｐ0)+(b(Ｐ2-Ｐ1)/a-(Ｐ1-Ｐ0))/2 になります。
Ｐ2の方向線の点Ｃ２の座標は、Ｃ２=Ｐ2+(Ｐ2-Ｐ3)+(c(Ｐ1-Ｐ2)/a-(Ｐ2-Ｐ3))/2 になります。
a=‖Ｐ2-Ｐ1‖=‖Ｐ1-Ｐ2‖、b=‖Ｐ1-Ｐ0‖、c=‖Ｐ2-Ｐ3‖です。
二つの方向線に別々の倍率を指定してかければ、点Ｃ１と点Ｃ２がそれぞれの接線上を伸び縮みし、より細かく曲線の曲がりを制御できますが、ここでは、ともに共通の倍率ｋを指定するものとします。
そのときの方向線の点Ｃ１と点Ｃ２の座標は、方向線のベクトルを倍率ｋでスカラー倍して、
Ｃ１=Ｐ1+k{(Ｐ1-Ｐ0)+(b(Ｐ2-Ｐ1)/a-(Ｐ1-Ｐ0))/2}
Ｃ２=Ｐ2+k{(Ｐ2-Ｐ3)+(c(Ｐ1-Ｐ2)/a-(Ｐ2-Ｐ3))/2} になります。
三次のベジェ曲線は、
Ｐ(t)= pow(1-t,3)Ｐ1+3tpow(1-t,2)Ｃ１+3pow(t,2)(1-t)Ｃ２+pow(t,3)Ｐ2 (０≦t≦１) になります。
Ｐ1とＰ2の二点間を三次のベジェ曲線で描くには、Ｐ0とＰ3の座標データが必要になります。
このことは、配列で指定した座標データの隣り合う二点間を順次、三次のベジェ曲線でつないで空間曲線を描く場合に、始点と終点に制御データが必要になることを示しています。
空間曲線を描くための制御データは、空間曲線の始点よりも前に曲線があると仮定して、その曲線上の点を使用します。
また、空間曲線の終点よりも先に曲線があると仮定して、その曲線上の点を使用します。
