弧長パラメータで表された曲線α(s)の垂足曲線β(s)は、 β(s)=α(s) +KT(s) , K=T(s)・（C-α(s)）で、 T(s)は曲線α(s)の単位接線ベクトルです。

曲線α上の動点Pにおける接線に、定点Cから下ろした垂線の足Hが描く曲線です。 Hの座標はH=P+KTで、Kを内積で表せば、K=T・（C-P）となり‖H-P‖のことです。 Tは曲線α上の動点Pにおける単位接線ベクトルです。 動点P(Px,Py,Px)、定点C(Cx,Cy,Cz)、単位接線ベク…

媒介変数表示の曲線を描画する方法で、弧長パラメータ表示や媒介変数表示の縮閉線を描画することができます。 特に、平面曲線で、曲線αの伸開線を曲線βとすれば、曲線βの縮閉線が曲線αになり、曲線αの接線が曲線βの法線になります。

媒介変数で表された曲線β(t)の縮閉線は、α(t)=β(t)+e2(t)/κ(t)になります。 e2(t)は曲線β(t)の単位主法線ベクトルです。 κ(t)は曲線β(t)の曲率です。 接線ベクトルである速度ベクトルは、 中点差分法により、T(t)=(β(t+H/2)-β(t-H/2))/H で、 加速度ベクトル…

弧長パラメータで表された曲線β(s)の縮閉線は、α(s)=β(s)+N(s)/κ(s)になります。 N(s)は曲線β(s)の単位主法線ベクトルです。 κ(s)は曲線β(s)の曲率です。 主法線ベクトルD(s)は、加速度ベクトルになるので、中点差分法により、 D(s)=(β(s+H)-2β(s)+β(s-H))/p…

曲線β上の動点Ｐにおける曲率円の中心Ｑが描く曲線です。 曲率円の中心Ｑは曲線β上の動点Ｐにおける主法線上にあります。 曲線β上の動点Ｐにおける曲率と同じ曲率を持つ円を曲率円と呼び、曲率円の半径を曲率半径と呼びます。 曲率半径は１/曲率です。

媒介変数表示の式から、弧長パラメータ表示の伸開線を描くことができます。 但し、弧長パラメータ表示の曲線は、弧長パラメータsが０のとき弧長が０なので、媒介変数表示の曲線では、始点を弧長パラメータのs=０の位置にあわせる必要があります。 弧長パラメ…

媒介変数で表された曲線α(t)上の動点Ｑからの接線の長さを、曲線α(t)の始点からの弧長関数S(t)の値に等しくすると、媒介変数ｔで表される曲線の伸開線は、β(t)=α(t) - S(t) e1(t)になります。 このとき、曲線α(t)の始点の弧長は０です。 e1(t)は曲線α(t)の単…

曲線α(s)上の動点Ｑからの接線の長さを、弧長パラメータsに等しくすると、弧長パラメータsで表される曲線の伸開線は、β(s)=α(s) - s T(s)になります。 T(s)は曲線α(s)の単位接線ベクトルです。 曲線α(s)の単位接線ベクトルは、 中点差分法により、T(s)=(α(s+…